热门:蔡天新：黎曼，他对素数有喜爱人的依恋

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原创蔡天新读书杂志的编辑彻底否定了黎曼几何学是爱因斯坦广义相对论的基础，康德关于物质世界是欧几里得式的。 他还提出了数学行业最有名的雷曼猜想。 在数学业界最后的“百事通”、戈根廷数学学派的希尔伯特弥留之际，如果500年后自己能复活的话，“雷曼猜想已经说明了吗？ ”。 雷曼，他对素数的依恋|蔡天新(读书)我的大部分身体都逃避了死亡，我永远活在后世的赞美声中。 ——(古罗马)贺拉斯2019年春，包括上海天文台在内的世界6个天文注意机构发表了声明，发表了他们合作拍摄的第一张黑洞照片。 这两年前，引力波被直接探测到，阿蒂亚爵士发表了雷曼猜想这两项重大科学信息，同样引起了世界人们的关注，与一年一度的奥斯卡颁奖典礼不相上下。 物理学家爱因斯坦再次成为人们崇拜的偶像，与黑洞一样，引力波的存在也是由他的广义相对论预言的。 但是，他是19世纪的天才数学家伯尔尼·哈德·雷曼，他建立的雷曼几何学是广义相对论的基础，而且他提出了迄今为止数学行业最有名的雷曼推测。 一、外表软弱腼腆的年轻人2010年秋，我应德国哥廷根大学数学同行的邀请，来到慕名远扬的数学圣地做客一个月。 一个星期六早上，我一个人开始了列车之旅。 那天我上午游览了不来梅，下午游览了汉堡。 它们是柏林以外唯一的两个直辖市，是德国吞吐量最高的两个港口，分别位于精灵河和易北川的下游。 在汉堡包上吃了晚饭后，我踏上了回家的路。 与来时的路线相反，选择东线，经过吕讷堡、尤尔岑，到达汉诺威后换车返回哥廷根。 偶然的一致是，这些城市正好与本文的主人公雷曼有密切的关系。 雷曼是在汉诺威和吕讷堡读的中学，尤尔岑是离出生地和度过童年的两个小村庄(父亲是村牧师)最近的车站。 即使雷曼时代列车不通，这里也是他去哥廷根留学的必要场所。 列车日落时到达，到达车站后下车拍摄站位。 那短短的几分钟，我满脑子都是雷曼。 虽然是离尤尔岑、雷曼故乡最近的车站(蔡天新拍摄)，但关于雷曼的一生，我们至今还很少知道，他自己也没有留下心理活动的记录，只留下了一部分往来的信件。 雷曼的同龄人中只有他弟弟德德德金，雷曼去世十年后编辑他的文集时，为他写了下一篇第17页的小传。 德德德金是雷曼和他共同的领袖高斯同乡，出生在不伦瑞克，他是高斯的关门弟子。 根据德德德金的描述，雷曼是个非常腼腆的人，每次出现在人群中他都不舒服。 这与他从小的宗教环境无关，他的家人是虔诚的路德教徒，“每天在上帝面前自我反省”。 家人之间的关系非常亲密，每次离开家雷曼都会犯法国的前辈数学家、思想家帕斯卡，或者后来住在英伦的印度数学天才拉曼努金这样的思乡病。 另外，他和拉马努金有共同的老朋友肺结核。 除了想家和肺结核，雷曼还是个多疑的患者，是现在流行的抑郁症的同义词。 只是，在雷曼寡妇的请求下，德德尔金不采用它。 雷曼的妻子是那个姐姐的朋友，他姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比雷曼长寿的人。 他们崇敬和被爱的父亲去世后，雷曼总是沉浸在痛苦的回忆中。 幸好他有个安逸的避难所。 那是他的数学世界。 特别是雷曼对素数及其分布有深深的魅力依恋 <； <； 滑动下一张图像看>； >； 雷曼手迹当时德国开始实施教育者冯·洪堡提出的教育改革，大学的主要任务是教育，特别是培养优秀的中学教师，并将研究交给科学院。 所以，伟大的数学家高斯也要求教“线性代数”。 只有冯·洪堡本人创立的柏林大学例外，那里的数学研究没有高斯这样的史诗般的英雄人物，但处于领先地位。 幸运的是，有规定可以在学生学习的时候去其他学校修学。 为了汲取越来越多的营养，雷曼转学到柏林。 柏林大学的两年间，雷曼如饥似渴地学习着新的充满活力的数学。 那个时候，有富裕的数学家雅各比、狄利克雷、施泰纳、艾森斯坦等。 雷曼向他们学到了很多东西。 向雅可比学习高等代数和高等力学，向狄利克雷学习数论和分解，向施泰纳学习现代几何学，向比他大三岁的艾森斯坦学习椭圆函数和自信。 他有信心超过前辈 二、阳光般灿烂的心一八四九年，雷曼从柏林回到了哥廷根。 两年后，他在题为“单复变函数通常理论的基础”的论文中取得了博士学位，那一年他25岁。 在哥廷根大学学习的最后一年半，他用非常有趣的东西听哲学讲座和韦伯斯特的实验物理学课，暂时把他纯粹的数学放在一边。 结果他以后的数学工作经常处于更深的哲学背景下，一生都保持着对物理学的浓厚兴趣。 雷曼虽然外表软弱腼腆，但内心勇敢坚强，拥有太阳般灿烂的心灵和卓越的才能，给他带来了惊人的冲击力和能量。 复函数论是数学的重要分支，黎曼和法国人柯西、德国同胞威尔什特拉斯被公认为这个分支的三大创始人，他们的出发点不同，柯西从分解出发，威尔什特拉斯从函数论出发，黎曼 黎曼给了单值分析函数严格的定义，给多值函数定义了黎曼曲面。 另外，他率先研究了曲面拓扑，处理了曲面上函数的存在性和唯一性问题对后世产生了重要的影响。 这篇论文是19世纪的数学经典，除了当时被高斯关注以外，没有什么反响。 直到三年后，雷曼才被哥廷根大学聘为无薪讲师。 在戈根廷数学研究所走廊上的雷曼像(蔡天新摄)的一八五四年，雷曼发表了无薪讲师职位的就职演说。 雷曼向系教授会提出了三个主题。 其中两个是关于数学物理的，他本来想选择这两个主题中的一个。 因为他已经准备好了。 但最后一次他又说了第三个主题。 关于几何学的基础。 高斯没觉得这个问题更感兴趣，他自己对此想了很多年，与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍伊分别建立了非欧洲几何学，即罗氏几何学。 雷曼没有完全的自信，但他只能硬着头皮上台。 黎曼任无薪讲师时的住处(蔡天新摄)黎曼演说的主题是“关于几何学的基础假设”，从中建立了黎曼几何学的基础，给出了黎曼测量的定义。 他把高斯的内涵几何学从欧几里得空间宣传到任意的n维空间，将其称为流形，用n元有序数组表现流形上的点。 雷曼还引入了子流形和曲率概念，让他特别关注的是“常曲率空间”，即一些上曲率相等的流形。 这种常曲率有曲率为正常数、曲率为负常数、曲率为零三种可能性。 雷曼指出，第二和第三分别对应罗氏的几何学和欧几里得几何学，第一种情况对应于他做的雷曼几何学。 在欧几里得几何学中，已知直线外的几条直线正好可以与该直线平行。 在罗氏几何学中，除已知直线外，多条直线可以与该直线平行。 雷曼几何学中，除了已知的直线以外的直线什么都做不了 雷曼可以说是第一个理解欧洲以外几何学全部意思的数学家 作为黎曼几何学的球面，三角形的内角和超过180度的黎曼的演说中思想丰富先进，被用“划时代”“不朽”等语言形容。 60年后，爱因斯坦广义相对论所需的数学工具，即三维空间和时间在数学上可以解决成四维空间，包括在其中。 作为牛顿之后最重要的科学发现，广义相对论首次将重力场解释为时空弯曲，导出了质量较大的恒星最终归结为黑洞。 在黎曼几何学中球面上两点的最短距离是弯曲圆弧的一部分 雷曼担任无薪讲师的第二年，高斯去世，雷曼在柏林大学时的老师狄利克雷继承了高斯的地位，4年后狄利克雷也没想到他也死了。 在此期间，雷曼的父亲、弟弟和两个妹妹相继去世，永远失去了家乡的避难所。 一八五九年七月三十日，雷曼继承了高斯的地位，晋升为正教授。 他和他唯一的两个姐妹搬到了天文台。 那是高斯生前住的地方。 之后，荣誉持续，雷曼晋升教授仅12天后，三十二岁的他被任命为柏林科学院通讯员。 戈根廷天文台继高斯之后，雷曼一家也住在这里(蔡天新摄)三。 他对素数的喜爱是给柏林科学院通讯员的仪式，雷曼还做了“关于一定值以下的素数个数”的重要报告。 他首先向高斯和狄利克雷的两位前辈表示敬意和感谢，接着引进了18世纪数学家欧拉发现的关于素数无限积的级数展开式，被认为是解析数论的关键。 黎曼将上述级数展开式命名为函数ζ(s )，后代称为黎曼ζ函数，即从1到无限正整数n的s次方倒数之和。 容易挤出，该函数在负实数轴的偶数点都取零值。 这叫做平凡的零点。 滑行看了越来越多的黎曼论文《关于小于规定值的素数个数》，这篇文章提出了有名的黎曼推测，这是黎曼在数论行业发表的唯一论文，也是迄今为止“数学王冠”行业最重要的文献。 换句话说，柏林(不是哥廷根)偶然成为了现在赫赫有名的雷曼猜想的诞生地。 这种推测是雷曼ζ(s )函数的所有非平凡零点都在实部的1/2的垂线上。 雷曼之所以使用那个主题，是因为高斯提出了“某一定值以下的素数个数”这一非常受欢迎的问题。 设不超过x的素数个数为π(x )，高斯推测π(x)~x/lnx。 这就是有名的素数定理 十九世纪最后十年，素数定理突然转变为转机 1890年，法国科学院设立了大奖，颁发了“明确规定值以下的素数个数”的最佳论文。 结果，年轻的法国人阿达玛得了大奖，但没有解释素数定理。 3年后，德国数学家冯·曼戈尔特得出结论，如果能解释比雷曼假说弱得多的推测，就能解释素数定理。 这个弱黎曼猜想是黎曼ζ函数的非平凡零点实部小于1。 按照这个想法，第二年阿达玛杀了回马枪，说明了上述弱黎曼猜想，说明了素数定理。 和他分享这一成果的是比利时人普桑。 幸运的是，他们之间没有像牛顿和莱布尼茨那样出现“优先的争执”。 这可能是“论证”和“发明”的区别。 半个多世纪后，挪威人塞尔贝格和匈牙利人爱多士分别以初等的方式重新解释素数定理，依然获得了巨大的荣誉，分别获得了菲尔兹奖和沃尔夫奖。 素数定理引起了19世纪的蓝鲸，也就是最具挑战性的数学课题，如20世纪的费马定理，它们在世纪末被解释。 有一种说法说，解释素数定理的人会得到永生。 事实上，普桑死于九十六岁差五个月，而阿达玛则是九十八岁差两个月。 阿达玛的人生经历了苦难，三个儿子在二次世界大战中去世，最喜欢的孙子在登山事故中去世了。 一九三六年，阿达玛访问清华大学，期间协助华罗庚与苏联数学家温诺格拉夫取得联系。 总之，素数定理的解释是一个转折点 这是由弱黎曼猜想导出的 如果没有雷曼预料之外的工作，就不能说素数定理今天能不能解释。 然后，根据素数定理的说明，雷曼预计会一下子被推到前台，每个数学家都会面对和听到。 因此，2018年秋天，年迈的菲尔兹奖和亚伯奖获得者阿蒂亚爵士事先告诉世界，在海德堡公布了雷曼的预测。 但是，他的解释不成立 时间回到1990年8月8日，哥廷根数学学派的老板希尔伯特在巴黎大学站在舞台上演讲。 那是第二届国际数学家大会的特邀报告，希尔伯特的演讲主题是“数学问题”。 开头的话，数学家很熟悉加西亚·马尔克斯的《百年孤独》开头。 “我们有些人不想揭开隐藏未来的帷幕。 看看我们学科的下一个进展，以及未来世纪如何快速发展的奥秘吧？ 》希尔伯特列举了23个问题，为20世纪数学的迅速发展指明了方向。 在他的问题中，被公认为最重要、最难处理的是第八个问题，其中提到了三个素数相关的课题:戈德巴赫猜想、孪生素数猜想、雷曼猜想。 之后，雷曼猜想也引起了海峡对岸的英国数学家的关注。 到目前为止，微积分学的“优先度之争”使海峡两岸的数学交流中断了一个多世纪，英国的数学大大落后。 哈迪出现后才形成剑桥学派，英国数学再次崛起。 晚年哈代出版了罕见的散文集《数学家的辩白》。 过了将近七十年，我访问剑桥时，在书店显眼的地方看到了这本书。 是哈迪发现了印度数学天才拉曼努金。 他也是华罗庚访问剑桥时的指导教师。 一九一一四年，也就是第一次世界大战爆发那年，哈迪率先说明雷曼ζ函数在实部的1/2直线上存在无限零点。 除此之外，还有人认为雷曼猜想不成立。 其中有“电脑之父”图灵。 他是哈迪的学生。 从二十六岁开始，图灵喜欢寻找除了实部的一半以外的不平凡的零点。 最初为了制造反例而设计了机械计算装置，但在“第二次世界大战”中中断了。 战后图灵用电脑计算了一百五十四个零点，可惜没有一个他想要的反例。 否则，我相信即使因性取向而受到歧视和侮辱，也不会咬涂氰化物的苹果。 现在人们已经计算了数千亿个非平凡的零点，它们依然在实部的一半线上。 四、世上万事万物互相合力，牛顿既是数学家也是物理学家，但这两个身份没有真正的区别，对雷曼来说，这种区别也不明显。 雷曼的想象力与物理学家很相似，生前发表的10篇论文中，有4篇属于物理学范畴。 这十篇论文互相独立，分别领先一个方向或学科 正如《英国百科全书》《雷曼》一项中所写的那样，“他的学术成果大部分是杰作，充满了独创的做法、意义深远的思想、广泛的想象力。 “雷曼一生对物理学有着浓厚的兴趣，热衷于热学、音响、电气、光学的研究。 雷曼的论文《关于有限振幅平面声波的传递》研究了压缩波和膨胀波:压缩波越强压缩，波速越快。 膨胀波越强膨胀，波速越慢 1860年，雷曼发表了“热传导问题”，从中迅速发展了二次微分形式，成为相对论的基础。 同年，雷曼访问巴黎，受到法国数学伙伴的亲切接待，给了雷曼很大的赞扬。 一八六二年夏天，三十六岁的雷曼结婚了。 夫人是爱丽丝。 结婚不到一个月，他就得了胸膜炎，引起了肺结核。 从此，雷曼和意大利结缘，他人生的最后四年基本上是在亚平宁度过的。 那里有温暖的气候。 雷曼非常喜欢意大利的艺术，他的独生女伊达出生在披萨上。 两次雷曼以为恢复了，但穿越阿尔卑斯山的旅行劳顿和寒冷再次复发了病情，幸运的是哥廷根大学方面坚持慷慨地延长他的假期。 雷曼像( 1863年)英裔美国作家德比·希尔毕业于伦敦大学的数学系，《素数之恋》获得了第一个Euler图书奖( 2007年，本文从这个中文版中选择了一点素材)。 他把数学家分为逻辑型和直觉型两类，以威尔施特拉斯和雷曼为例。 他认为威尔·桁架是攀岩者，每一步都基于坚实的论证，而雷曼是空中飞行员的表演者，有非常直观的想象力和跳跃性的思考。 我想起最近因新冠肺病去世的美国物理学家戴森的《飞鸟和青蛙》也把天才人物进行了类似的分类。 生命的最后一年雷曼相继获得了荣誉。 巴黎科学院选举他为通信院士，英国皇家学会选举他为外籍会员。 除此之外，他的病与黄疸症结合得越来越严重。 一八六六年七月二十日，雷曼在意大利北部的塞拉斯加与世长致辞。 雷曼很安静，他父亲告诉他的虔诚总是伴随着他。 雷曼这个名字无论过去、现在还是未来，总是伴随着所有的数学工作者。 雷曼埋葬在阿尔卑斯山南麓的马乔雷湖边，墓碑上刻着圣人保罗的话:世上万物齐心协力，爱上帝的人一切顺利。 意大利马乔雷湖边的雷曼墓雷曼被埋葬后，爱丽丝带着伊达(英国诗人拜伦的独生女，也叫伊达，她是第一个电脑程序员)回到了哥廷根。 伊达长大后和数学博士结婚，雷曼这个陌生的儿子后来成为不来梅航海学校的校长，迎来了继母和继父唯一活着的姐姐(也叫伊达)。 他们组成了一个大家庭。 孙子的数量很难数。 雷曼的后代现在融入了普通人之中。 *文中的照片没有明确记载来源者全部由作者提供c副本版权。 《读书》杂志所有的转载许可，都是“数”拓新土道不远的人——围棋人机大战的意思原标题:“《读书》新书|蔡天新:雷曼，他对素数很留恋。

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